Beschreibung

• Es ist ein häufig beobachtetes aber nur unzureichend verstandenes Phänomen, dass viele der in Algebra, Geometrie oder Kombinatorik auftretenden Polynome mit nicht-negativen Koeffizienten (oder ihre symmetrischen Zerlegungen) schöne Eigenschaften besitzen, wie beispielsweise unimodal zu sein oder ausschließlich reelle Wurzeln zu besitzen. Beispielsweise ist bekannt, dass im Wesentlichen alle gut untersuchten Unterteilungsoperationen auf Simplizialkomplexen, z.B. baryzentrische und kantenweise Unterteilungen, h-Polynome mit ausschließlich reellen Wurzeln liefern (unter recht milden Vorraussetzungen an den ursprünglichen Simplizialkomplex). Athanasiadis gelang es 2021 dieses Phänomen zu erklären, indem er sog. uniforme Triangulierungen einführte, die ein gemeinsames Framework für viele der gut untersuchten Unterteilungsoperationen darstellen. Eines der Hauptresultate besagt, dass das h-Polynom jedes hinreichend schönen unterteilten Simplizialkomplexes schon ausschließlich reelle Wurzeln besitzt, wenn die h-Polynome unterteilter Simplizes die sog. stark interlacing Eigenschaft besitzen. Zusammen mit Tzanaki konnte er weitherhin zeigen, dass, falls der h-Vektor des Ausgangskomplex gewisse zusätzliche Ungleichungen erfüllt, dass dann das h-Polynom des unterteilten Simplizialkomplexes eine nicht-negative symmetrische Zerlegung mit ausschließlich reellen Wurzeln besitzt oder letztere sogar interlacing ist.Die Hauptziele dieses Projekts sind die folgenden: Finde/Konstruiere Klassen uniformer Triangulierungen, die die stark interlacing Eigenschaft besitzen.Charakterisiere lokale h-Vektoren uniformer Triangulierungen, sowie deren F-Dreiecke. Dies ist wichtig, um die Kombinatorik uniformer Triangulierungen besser zu verstehen.Finde Klassen von Unterteilungen, sodass die h-Vektoren unterteilter hinreichend schöner Simplizialkomplexe die oben genannten Ungleichungen erfüllen. Iterative Anwendung dieser Unterteilungen führt dann zu h-Polynomen mit einer nicht-negativen reell-wurzelnden oder sogar interlacenden symmetrischen Zerlegung.Eine der Klassen an Polynomen, die für alle Fragestellungen betrachtet werden sollen, sind s-Euler Polynome und s-Derangement Polynome. Insbesondere sollen Klassen von s-Euler bzw. s-Derangement Polynomen identifiziert werden, die sich als h-Polynome bzw. lokale h-Polynome uniformer Triangulierungen realisieren lassen. Dies ist dadurch motiviert, dass bekannt ist, dass s-Euler und s-Derangement ausschließlich reelle Wurzeln besitzen und die h-Polynome und lokalen h-Polynome der baryzentrischen und kantenweisen Unterteilung als solche realisierbar sind. Insbesondere erhält man so Klassen von Unterteilungen, die viel versprechende Kandidaten für Unterteilungen mit der stark interlacing Eigenschaft sind.

Projektlaufzeit

• 15.04.2023 - 14.04.2026