Beschreibung

• Das Ziel der Klassifikation topologischer Mannigfaltigkeiten und allgemeinerer topologischer Räume verfolgt die klassische algebraische Topologie mit Hilfe algebraischer Invarianten. Von besonderem Interesse sind sogenannte darstellbare algebraische Invarianten (auch bekannt als Kohomologietheorien), wobei die darstellenden Objekte (bekannt als Spektren) selber als eine Variante topologischer Räume, versehen mit einer schönen Addition, interpretiert werden können. Die Kollektion aller Spektren (beziehungsweise Kohomologietheorien) bildet die stabile Homotopiekategorie, und dieser Betrachtungsweise verdankt die Mathematik viele fantastische Fortschritte mit Bezug auf das ursprüngliche Klassifikationsproblem.Algebraische Geometrie behandelt statt topologischer Mannigfaltigkeiten deutlich inflexiblere algebraische Mannigfaltigkeiten, die dadurch charakterisiert sind, dass sie sich lokal als Nullstellenmengen von Polynomen beschreiben lassen. In den neunziger Jahren des vergangenen Jahrhunderts erweiterten Fabien Morel und Vladimir Voevodsky den topologischen Zugang via allgemeiner Kohomologietheorien auf den Kontext der algebraischen Geometrie, woraufhin viel Forschung in diesem Bereich stattfand. Diese Forschung lieferte unter anderem einen Rahmen für hochgradig interessante Kohomologietheorien algebraischer Mannigfaltigkeiten, die sogenannte motivische stabile Homotopiekategorie eines Körpers beziehungsweise eines geeigneten Basisschemas.Um die algebraischen Invarianten zu verstehen, ist ein technisches Hilfsmittel nahezu unverzichtbar: Filtrierungen. Schon in der klassischen algebraischen Topologie werden diverse Filtrierungen verwendet und gegeneinander ausgespielt, sowohl mit dem Ziel eines besseren theoretischen Zugriffs, als auch mit der Absicht, konkrete Berechnungen durchzuführen. Die motivische stabile Homotopiekategorie eröffnet zum Teil bekannte, zum Teil ganz neue Filtrierungen, deren Untersuchung insbesondere in der letzten Dekade erstaunliche Resultate erbrachte. Ziel des vorliegenden Projektes soll es sein, verschiedene motivische Filtrierungen zu erforschen und deren Eigenschaften zu nutzen, um konkrete Ergebnisse zu erzielen. Besonders prominent stechen Voevodskys Slice-Filtrierung und die Filtrierung nach Zusammenhang hervor. Diese Filtrierungen und ihre Beziehungen untereinander sollen zur Untersuchung der folgenden Objekte dienen: Kooperationen effektiver algebraischer K-Theorie, Kooperationen motivischer Kohomologie über einem Körper mit Koeffizienten im zugehörigen Primkörper, Homotopiegarben des Sphärenspektrums und motivische Orientierungen, die das klassische Todd-Geschlecht verallgemeinern.

Projektlaufzeit

• 08.04.2015 - 31.12.2018

Verbund/Partnerorganisation

• Universität Duisburg-Essen